wiskunde

Substitutieregel bij integreren

Met behulp van de substitutieregel kunnen integralen welke ‘geneste’ variabelen hebben, makkelijker worden opgelost. Dit gaat om integralen zoals:

\(\int{\sqrt{2x+1}}dx\)

We vervangen hierbij \(2x+1\) door \(u\): \(\int{\sqrt{u}}dx\)

Alleen hebben we nu een variabele \(u\) staan en \(dx\). Dat kan niet. Die laatste moeten we daarom omschrijven naar \(du\). Dat doen we met behulp van de volgende stappen:

\(u=2x+1\)
\(du=2 dx\)
\(dx=\frac{du}{2}\)

Nu kunnen we de integraal oplossen:

\(\int{\sqrt{2x+1}}dx = \int{\sqrt{u}}dx\)

…door om te schrijven

\(=\int{\sqrt{u}\frac{du}{2}}\)
\( = \int{u^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}du}\)
\( = \frac{1}{2}\int{u^{\frac{1}{2}}}du\)

…en dan daadwerkelijk oplossen

\(=\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*u^{\frac{3}{2}}+C\)
\( = \frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}+C\)

…tenslotte \(u\) weer invullen

\(=\frac{1}{3}(2x+1)^{\frac{3}{2}}+C\)

0 Shares

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *