wiskunde

Partieel integreren

Bij moeilijke of lastige integraties kan het helpen om gebruik te maken van het zogenaamde ‘partieel integreren’ (integration by parts). Met behulp hiervan kan bijvoorbeeld de volgende integrand makkelijker opgelost worden:

\(\int{x sin(x)dx}\)

De integraal wordt omgeschreven tot de volgende functie:

\( \int{f'(x)g(x)} = f(x)g(x) – \int{f(x)g'(x)}\)

of, wat makkelijker voor het oog:

\(\int u dv = vu – \int v du\)

Het is de bedoeling dat je dát gedeelte van een integraal kiest voor de functie \(g(x)\) welke het makkelijkst is te differentieren. Het is namelijk de bedoeling dat bij het differentieren van \(g(x)\) deze ‘verdwijnt’; dat er geen nieuwe functie ontstaat. Bijvoorbeeld: \(3x\) wordt na differentieren \(3\). Geen nieuwe functie dus. Dat is de bedoeling.

Voorbeeld

\( \int{cos(x) * 3x dx}\)

Stap 1: de eerste stap is het bepalen van je functies \(g(x)\) en \(f'(x)\) en de afgeleide cq. primitieve daarvan. Zoals eerder gezegd, kies je de makkelijkste functie voor \(g(x)\).

\(g(x) = 3x\)
\(g'(x) = 3\)

\(f'(x) = cos(3x)\)
\(f(x) = 3sin(3x)\)

Stap 2: vul nu de formule voor partieel integreren in met de hierboven ingevulde functies.

\( \int{f'(x)g(x)} = f(x)g(x) – \int{f(x)g'(x)}\)
\( \int{cos(3x)3x} = 3sin(3x) * 3x – \int{3sin(3x)*3 dx}\)
\( = 9xsin(3x) – \int{9sin(3x) dx}\)
\( = 9xsin(3x) – 9\int{sin(3x) dx}\)
\( = 9xsin(3x) – 9*3*(-cos(3x)) + C\)
\( = 9xsin(3x) – 27*(-cos(3x)) + C\)

0 Shares

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *