Oplossingsmethode
De oplossingsmethode van de integrerende factor voor een differentiaalvergelijking van de gedaante (\({\bf y'(x)+p(x)\ast y(x)=q(x)}\)) bestaat uit het volgende:
- bepaal de primitieve \(P(x)\) van \(p(x)\) en integrerende factor \(e^{P(x)}\)
- vermenigvuldig beide leden met \(e^{P(x)}\)
- het linkerlid van de DV schrijven als de afgeleide van het product \(y(x) * e^{P(x)}\)
- Vervolgens beide leden van de DV integreren
- Haal \(y(x)\) naar één kant van de vergelijking
Uitleg
Een lineaire differentiaalvergelijking is van de standaardvorm:
(1) \({\bf y'(x)+p(x)*y(x)=q(x)}\)
Deze vorm lijkt bijna op de productregel (\(f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)\)) ), we missen alleen een functie in de eerste term van (1.)
De missende functie noemen we \(\mu(x)\) en de afgeleide van het product \(y(x) * \mu(x)\) is gelijk aan:
(2) \({\bf y'(x) * \mu(x) + y(x) * \mu'(x)=(y(x)*\mu(x))’}\) (de productregel)
Als we nu links en recht met \(\mu(x)\) vermenigvuldigen,dan kunnen we voor (1) schrijven:
(3) \({\bf y'(x) * \mu(x) + p(x) * y(x) * \mu(x) = q(x) * \mu(x) }\)
Vergelijken we nu het linkerlid van (3) met de gewenste vorm (2), dan zien we dat de eerste van de twee termen van het linkerlid (3) al overeenstemt met (2), maar de tweede term nog niet.
Dit kunnen we wel bereiken als we \(\mu(x)\) zodanig zouden kiezen dat geldt:
(4) \({\bf y(x) * \mu'(x) = p(x) * y(x) * \mu(x)}\)
en dus:
(5) \({\bf \mu'(x) = p(x) * \mu(x)}\)
Zoals je ziet bij (5) zoeken we functie \(\mu(x)\) waarvan de afgeleide \(\mu'(x)\) gelijk is aan de oorspronkelijke functie \(\mu(x)\) vermenigvuldigt met \(p(x)\).
Denken we aan de exponentiele functie welke zichzelf als afgeleide heeft, en aan de kettingregel, dan zien we dat de gezochte functie is:
(6) \({\bf \mu(x) = e^{P(x)} }\)
Waarbij \(P(x)\) een primitieve is van \(p(x)\). Immers, volgens de kettingregel is de afgeleide van \(\mu(x) = e^{P(x)}\) dan gelijk aan \(\mu'(x) = P'(x) * e^{P(x)} = p(x) * e^{P(x)} = p(x) * \mu(x)\) zoals gewenst.
Voorbeeld
Misschien wordt het geheel duidelijker aan de hand van een voorbeeld. Met behulp van de methode gaan we een differentiaalvergelijking oplossen.
Gegeven differentiaalvergelijking: \(y'(x) + 3x^2y(x) = 6x^2\)
Stap 1
Bepaal eerst de primitieve \(P(x)\) van \(p(x)\)
\(p(x) = 3x^2 \Rightarrow P(x) = x^3 \Rightarrow e^{P(x)} = e^{x^3}\)
\(q(x) = 6x^2\)
Stap 2
Vermenigvuldig beide leden met \(e^{P(x)}\)
In ons geval betekent dat dus het vermenigvuldigen van beide kanten met \(e^{x^3}\)
\(y'(x) {\bf * e^{x^{3}}} + 3x^2 * y(x) {\bf * e^{x^{3}}} = 6x^2 {\bf * e^{x^{3}}}\)
Stap 3
Het linkerlid van de DV kunnen we nu opvatten als \(\frac{dy}{dx}( y(x) * e^{P(x)} )\).
Denk aan de kettingregel: \(\frac{dy}{dx}(f(x)*g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)\)
Die kan je dus ook andersom opschrijven: \(\frac{dy}{dx}( f(x) * g(x) ) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)\)
We kunnen de vergelijking dus als volgt schrijven, omdat dit hetzelfde is:
\({\bf \frac{d}{dx}( y(x) * e^{x^{3}}) = 6x^2e^{x^{3}}}\)
Stap 4
Vervolgens kunnen we beide leden van de DV integreren
\({\bf y(x) * e^{x^{3}} = \int{6x^2e^{x^{3}}}}\)
\({\bf y(x) * e^{x^{3}} = \frac{d}{dx}(2e^{x^{3}})}\)
\({\bf y(x) * e^{x^{3}} = 2 * e^{x^{3}} + 0 * e^{x^{3}}} (productregel)\)
\({\bf y(x) * e^{x^{3}} = 2e^{x^{3}} + C}\)
Stap 5
Nu willen de functie \(y(x)\) aan één kant van de vergelijking hebben.
Dit bereiken we door beide kanten te vermenigvuldigen met \(e^{-x^{3}}\)
\({\bf y(x) = 2 + Ce^{-x^{3}}}\)
